Beweis des Sinussatzes

10. Klasse Realschule und Gymnasium
Information

Frage: Wie können folgende Aufgabenstellungen richtig gelöst werden ??
1. Beweis des Sinussatzes:

Zur Beantwortung dieser Frage, sollte man sich als Erstes noch
einmal in Erinnerung rufen, was der Sinus eines Winkels ist...





1. Fall: 0° < < 90 °
Wir zerlegen das spitzwinklige Dreieck ABC durch die HÖhe hc in zwei rechtwinklige Dreiecke ADC und DBC.

Beweis des Sinussatzes
Für das Dreieck ADC gilt:
Beweis des Sinussatzes
Für das Dreieck DBC gilt:
Sinussatz. Beweis des Sinussatzes
also:


also:




Aus beiden Gleichungen erhalten wir durch Gleichsetzen:

Sinussatz. Beweis des Sinussatzes

Beweis des Sinussatzes






2. Fall: 90° < < 180 °
Dazu ergänzen wir das stumpfwinklige Dreieck ABC durch die Höhe hc zu einem rechtwinkligen Dreieck DBC.

Beweis des Sinussatzes


Für das Dreieck ADC gilt:
Beweis des Sinussatzes
Für das Dreieck DBC gilt:
Beweis des Sinussatzes
also:


Beweis des Sinussatzes
also:

Beweis des Sinussatzes




Gleichsetzen ergibt:


Beweis des Sinussatzes

Da sin = sin (180° - ), erhalten wir ebenfalls die Gleichung:

Beweis des Sinussatzes


oder :

Beweis des Sinussatzes


Es gilt folglich:


In jedem Dreieck ist das Verhältnis der Längen zweier Dreiecksseiten gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

Beweis des Sinussatzes Beweis des Sinussatzes Beweis des Sinussatzes
Beweis des Sinussatzes Beweis des Sinussatzes Beweis des Sinussatzes


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