Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktionen

10. Klasse Realschule und Gymnasium
Information

Frage: Wie löse ich folgende Aufgaben zu
           allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktionen ??



1) Bestimme ohne Taschenrechner:

  a) sin ( ) ??
  Um die Aufgabe zu lösen, ist ein Blick auf die Sinuskurve sehr hilfreich.

  Sinuskurve
  An der Sinuskurve können wir leicht ablesen, dass der Sinus von Sinus mit Bogenmaß = - 1 ist.

  b) sin ( ) ??
  Um die Frage zu beantworten, müssen wir uns klar machen, dass sich die Sinuskurve alle 2 wiederholt, d.h. sin ist nichts anderes als sin .
Sprich sin (Bogenmaß: 3 pi), sin (Bogenmaß: 5 pi) und sin (Bogenmaß: 5 pi) ist ebenso stets 0.


  c) sin ( ) ??
  Diese Aufgabe sieht auf den ersten Blick recht kompliziert aus, ist sie aber nicht.
können wir nicht mehr an der Kurve direkt ablesen, aber wir wissen, dass sich die Sinuskurve alle 2 pi wiederholt. Also ist - (2 pi) = .
Gemäß Tabelle M1 ist = 150°. Ein Blick auf Tabelle M2 verrät uns, dass sin 150° den Wert 0,5 hat.

  Winkelfunktion im Bogenmaß:

Winkel Alpha, Sinus 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
  0 Bogenmaß. 30 Grad Bogenmaß.  45 Grad Bogenmaß. 60 Grad Bogenmaß. 90 Grad Bogenmaß. 120 Grad Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. 150 Grad Bogenmaß. 180 Grad Bogenmaß. 270 Grad 2Bogenmaß.  360 Grad
Tabelle M1
 
Tabelle der besonderen Sinus Werte:

Winkel Alpha, Sinus 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
  0 0,5 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad 1 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad 0,5 0
Tabelle M2


  d) cos ( ) ??
  Um die Aufgabe zu lösen, werfen wir wieder einen Blick auf die Cosinuskurve:

  Die Cosinuskurve:
Cosinuskurve
  An der Cosinus-Kurve können wir leicht ablesen, dass der cos von Sinus mit Bogenmaß = 0 ist.



  e) cos ( - 5 ) ??
  cos -5 ist wiederum gleich cos (-5+ 6 ). Wir addieren also einfach dreimal 2 hinzu. Also gilt cos -5 = cos . Dies ist -1.

  Die Cosinuskurve im Bogenmaß:

  An der erweiterten Cosinus-Kurve können wir leicht ablesen, dass cos ( - 5 ) = -1 ist.



  e) cos ( pi) ??
  Auch hier wenden wir den gleichen Trick an. Wir addieren
2 pi und erhalten nun cos(Bogenmaß. 180 GradBogenmaß. 180 Grad)
 
Tabelle der besonderen Kosinus Werte:

Winkel Alpha, Sinus 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 225°
Bogen-maß 0 Bogenmaß. 30 Grad Bogenmaß. 30 Grad Bogenmaß.  45 Grad Bogenmaß. 60 Grad Bogenmaß. 90 Grad Bogenmaß. 120 Grad Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. 150 Grad Bogenmaß. 180 Grad Bogenmaß. 180 GradBogenmaß. 180 Grad
cos(Winkel Alpha, Sinus) 1 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad 0,5 0 -0,5 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad -1 Bogenmaß. Sin  Grad
Tabelle M3

  Sinuskurve. Bogenmaß
  An der Kosinus-Kurve können wir leicht ablesen, dass gilt:

cos ( pi) = Bogenmaß. Sin  Grad


SIN (x) und COS (x) im Überblick:

Winkel Alpha, Sinus 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 225°
x im
Bogen-maß
0 Bogenmaß. 30 Grad Bogenmaß. 30 Grad Bogenmaß.  45 Grad Bogenmaß. 60 Grad Bogenmaß. 90 Grad Bogenmaß. 120 Grad Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. 150 Grad Bogenmaß. 180 Grad Bogenmaß. 180 GradBogenmaß. 180 Grad
sin(x) 0 0,5 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad 1 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad 0,5 0 Bogenmaß. Sin  Grad
cos(x) 1 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad 0,5 0 -0,5 Bogenmaß. Sin  Grad Bogenmaß. Sin  Grad -1 Bogenmaß. Sin  Grad

Tabelle M4


 
sin(x) = 0,5

(-> siehe Tabelle M4)


Winkel Alpha, Sinus1 = 30°
Winkel Alpha, Sinus2 = 150°

Winkel Alpha, Sinus = 30° + k * 360° oder 150° + k * 360°

Loesungsmenge. Sin (x) = 0,5
Sinuskurve. Bogenmaß und Gradmaß
  sin(x) = Bogenmaß. Sin  Grad

(-> siehe Tabelle M4)


Winkel Alpha, Sinus1 = 135°
Winkel Alpha, Sinus2 = - 225°

Sinuskurve. Bogenmaß und Gradmaß

Es gilt für 0 Winkel Alpha, Sinus360° :

sin Winkel Alpha, Sinus= - sin (360° - Winkel Alpha, Sinus)

Sprich wie rechnen wir??

sin 135 ° = - sin (360°-135°) = - (sin 225°)
 
sin(x) = Bogenmaß. Sin  Grad

(-> siehe Tabelle M4)


Winkel Alpha, Sinus1 = - 60°
Winkel Alpha, Sinus2 = 240°

Sinuskurve. Bogenmaß und Gradmaß

Winkel Alpha, Sinus = -60° + k * 360° oder 300° + k* 360° oder 240° + k * 360°

Loesungsmenge. Sin (x) = 0,5


cos (x) = Bogenmaß. Sin  Grad
(-> siehe Tabelle M4)
Winkel Alpha, Sinus1 = 135°
Winkel Alpha, Sinus2 = 225°

Winkel Alpha, Sinus = 135° + k * 360° oder 225° + k * 360°

Loesungsmenge. Sin (x) = 0,5

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