Quadratische Ergänzung
Anwenden und verstehen, Teil 3)

9./10. Klasse Realschule und Gymnasium
Information


Wie funktioniert die quadratische Ergänzung und wozu dient sie?


Die quadratische Ergänzung dient dazu, eine Funktion 2. Grades in die Scheitelform zu bringen, so dass diese mit Hilfe der Verschiebungsregeln
und des ermittelten Scheitelpunktes gezeichnet werden kann.
Mathematik Unterrichtsmaterial


5. Beispiel: Anwendung der quadratischen Ergänzung:
Anwendung der Quadratischen Ergänzung

QUADRATISCHE ERGÄNZUNG

Quadratische Ergänzung



-> s. auch Kapitel Binomische Formeln

-> s. auch Kapitel Verschiebungsregeln

Merke:
Im ersten Schritt wird der
SummandQuadratische Ergänzung
ergänzt, so dass im zweiten
Schritt mit Hilfe der 1. Binomischen Formelein Quadrat
(x +3)2 gebildet werden kann.

Bei dieser Aufgabe wird der
Wert 9 zunächst addiert, um
das 1. Binom aufstellen zu können.
Quadratische Ergänzung
Anschließend muss dieser Wert
wieder subtrahiert werden, um
das Ergebnis des Terms nicht zu verfälschen.


Die Funktion 2. Grades gezeichnet (Parabel):
(um 3 Einheiten nach links und um 2 Einheiten nach oben verschoben

Verschiebung der Normalparabel



6. Beispiel: Anwendung der quadratischen Ergänzung:


Verschiebung der NormalparabelQuadratische Ergänzung

Um die quadratische Ergänzung verwenden zu können, muss der Wert a der allgemeinen Funktion gleich 1 sein (a = 1).
Hier ist der Wert von a jedoch - 1. (a = -1)
Insofern muss - 1 ausgeklammert werden.
Erst dann kann mit der quadratischen Funktion begonnen werden. Bei dieser Aufgabe wird der Wert 1 zunächst addiert, um das 2. Binom aufstellen zu können.
Quadratische Ergänzung
Anschließend muss dieser Wert
wieder subtrahiert werden, um das Ergebnis des Terms nicht zu verfälschen.

ABC- Formel zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion



Quadratische Ergänzung bei Funktionen 2. Grades

Um die Nullstellen der Funktion zu
ermitteln, empfielt es sich zunächst die
abc- Formel/Mitternachtsformel zu verwenden.
(s. links)

Quadratische Ergänzung bei Funktionen 2. Grades


Die gezeichnete Funktion:

( um 1 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach oben verschoben,

Verschiebung der Normalparabel

x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
y -12 -8,25 -5 -2,25 0 1,75 3 3,75 4 3,75 3 1,75 0 -2,25 -5


-> Quadratische Ergänzung, (Teil 1)

-> Quadratische Ergänzung, (Teil 2)

-> Quadratische Ergänzung, hoher Schwierigkeitsgrad (Teil 4)



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