Quadratische Ergänzung
Anwenden und verstehen, Teil 4

9./10. Klasse Realschule und Gymnasium
Information


Wie funktioniert die quadratische Ergänzung, wenn ein Faktor
vorgeschaltet ist?


Hat die quadratische Funktion einen Faktor vorgeschaltet, wie beispielsweise
in den folgenden beiden Aufgaben, so muss der Faktor vor Verwendung der quadratischen Funktion ausgeklammert werden:
Mathematik Unterrichtsmaterial
Quadratische Ergänzung

Denn um die quadratische Ergänzung verwenden zu können, muss der Wert a
der allgemeinen Funktion gleich 1 sein (a = 1) .


7. Beispiel: Anwendung der quadratischen Ergänzung:

Quadratische Ergänzung

Hier ist der Wert von a jedoch 2. (a = 2)
Es bietet sich an hier einen Faktor k auszuklammern.
Erst dann kann mit der quadratischen Funktion begonnen werden.
Anwendung der Quadratischen Ergänzung

-> s. auch Kapitel Binomische Formeln

-> s. auch Kapitel Verschiebungsregeln



QUADRATISCHE ERGÄNZUNG



Erklärung zur Teilrechnung:
Anwendung der Quadratischen Ergänzung


x -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
y 36 27,5 20 13,5 8 3,5 0 -2,5 4 4,5 -4 -2,5 0 3,5 8

Die Nullstellen können wiederum über die abc Formel
bzw. pq- Formel ermittelt werden.


Nullstellen einer quadratischen Funktion Nullstellen einer quadratischen Funktion

Nullstellen einer quadratischen Funktion


Die Funktion 2. Grades gezeichnet (Parabel):
(um 0,5 Einheiten nach links und um 4,5 Einheiten nach unten verschoben,
zudem mit dem Faktor 2 gestreckt)

Verschiebung der Normalparabel



8. Beispiel: Anwendung der quadratischen Ergänzung:

Verschiebung der Normalparabel Quadratischen Ergänzung


Erklärung zur Teilrechnung:
Anwendung der Quadratischen Ergänzung


x -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0
y 7,5 5,5 3,75 2,25 1 0 -0,75 -1,25
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
-1,5 -1,5 -1,25 -0,75 0 1 2,25 3,75


Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lässt sich also der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ermitteln mit dessen Hilfe man eine Parabel im Koordinatensystem einzeichnen kann.



Die gezeichnete Funktion:

( um 0,75 Einheiten nach rechts und um 1,5 Einheiten nach unten verschoben
zudem mit dem Faktor 0,5 gestreckt)

Verschiebung der Normalparabel

-> Quadratische Ergänzung, (Teil 1)   -> Quadratische Ergänzung, (Teil 2) 

 -> Quadratische Ergänzung, (Teil 3) 



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