Analytische Geometrie und lineare Algebra

12. Klasse Gymnasium
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Frage:
Wie kann ich eine Punktprobe durchführen, d.h. wie kann ich herausfinden,
ob bestimmte Punkte auf einer Geraden liegen oder nicht?



Aufgabe 1:
  
Folgende Gerade ist gegeben:

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden

Prüfe rechnerisch, ob die Punkte P1 (1/3/-1) , P2 ( 7/9/8) und P3 (3/2/4)
auf der Geraden liegen.


Zur visuellen Veranschaulichung zeichnen wir zunächst die Gerade:

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden


PUNKT P1:
Liegt der Punkt P1 (1/3/-1) auf der Geraden ?
Um dies zu überprüfen setzten wir die Gerade gleich dem Ortsvektor.
Der Punkt liegt nur auf der Geraden, wenn es ein ´r´ gibt, dass alle 3 Gleichungen erfüllt.

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden


Wir überprüfen anhand des Koordinatensystems:

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden

Wir sehen: Der Punkt liegt in der Tat auf der Geraden.

PUNKT P2:

Liegt der Punkt P1 (7/9/8) auf der Geraden ?
Um dies zu überprüfen setzten wir erneut die Gerade gleich dem Ortsvektor.
Der Punkt liegt nur auf der Geraden, wenn es ein ´r´ gibt, dass alle 3 Gleichungen erfüllt.

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden


Wir überprüfen erneut anhand des Koordinatensystems:

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden

Wir sehen: Der Punkt liegt in der Tat auf der Geraden.



PUNKT P3:

Liegt der Punkt P3 (3/2/4) auf der Geraden ?
Um dies zu überprüfen setzten wir erneut die Gerade gleich dem Ortsvektor.
Der Punkt liegt nur auf der Geraden, wenn es ein ´r´ gibt, dass alle 3 Gleichungen erfüllt.

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden
Wir erhalten unterschiedliche Werte für r.
Daraus folgt, dass der Punkt P3 nicht auf der Geraden liegen kann.

Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden


s. auch:

-> Parametergleichungen von Geraden aufstellen, Geradenpunkte ermitteln

-> Vektorielle Darstellung von Geraden im dreidimensionalen Raum

-> Parallele und identische Geraden erkennen

-> Ebenen darstellen aus zwei Geraden


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