Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Ihre Schüler machen Entdeckungen zu besonderen Zahlen und trainieren ganz nebenbei das schriftliche Subtrahieren. Eine Erläuterung der verschiedenen Stellenwertsysteme rundet die Einheit ab.

• Klassenstufe/Lernjahr: 5/6 (G8)
• Dauer: 6 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen:
  • 1. mathematisch argumentieren (K1)
  • 2. Probleme mathematisch lösen (K2)
  • 3. mathematisch kommunizieren (K6)
• Thematische Bereiche: Zahlenmuster erkennen, schriftliche Subtraktion, Stellenwerttafel
• Medien: Texte, 1 Farbfolie, Bilder
• Zusatzmaterialien: Präsentation für Beamer und interaktives Whiteboard

Beim Größenvergleich von natürlichen Zahlen und Dezimalbrüchen gibt es im Großen und Ganzen nur eine Strategie. Man kann schon anhand der Ziffernschreibweise erkennen, welche von den beiden Zahlen die größere ist. Ganz anders ist es bei den Brüchen, bei denen es eine Vielzahl an unterschiedlichen Vergleichsstrategien gibt. Besitzen die Schülerinnen und Schüler stabile Grundvorstellungen von Brüchen, so lässt sich auf dieser Basis der Größenvergleich von Brüchen mittels unterschiedlicher Strategien anschaulich, variationsreich und sprachsensibel durchführen. Der traditionelle Weg über das Bestimmen des Hauptnenners, also den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, sollte daher nicht zu schnell und nicht ohne echtes Verständnis eingeführt werden. Dieser Weg sollte als eine von vielen Strategien zum Größenvergleich von Brüchen herangezogen werden, da er im konkreten Einzelfall oftmals nicht zwingend notwendig ist.

Das Thema „Brüche auf verschiedenen Wegen vergleichen“ ist ein Unterthema des Themenfeldes „Zahl-Variable-Operation“, welches zukünftig zum Grundlagenwissen der schriftlichen Abschlussprüfung zählt.

• Klassenstufe: 6
• Dauer: 8 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Brüche vergleichen und ordnen
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mathematisch kommunizieren
• Ihr Plus: Lernausgangsdiagnose, Lerntagebuch, gestufte Tipp-Karten

Mit diesem Material erfahren Ihre Schüler, wie das System der römischen Zahlen funktioniert und dass unsere „normalen“ Zahlen eine weitere (gut funktionierende) Möglichkeit sind, Mengen und Anzahlen darzustellen. In einem Stationenlernen können die Schüler in einer offenen Form des Unterrichts Erfahrungen sammeln, selbstständig lernen und dabei verschiedene Lernwege einschlagen.

• Klassenstufe/Lernjahr: 5/6 (G9)
• Dauer: 6 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen:
  • 1. Zahlen situationsbezogen darstellen
  • 2. Argumentieren und Kommunizieren
  • 3. Lösungswege beschreiben
  • 4. Umgang mit Musterlösungen
• Thematische Bereiche: Römische Zahlen, Leitidee Zahl
• Zusatzmaterialien: Dominospiel zum spielerischen Abschluss

Viele Wege führen zur Formel der Trapezfläche. In einem Gruppenpuzzle erforschen die Lernenden hier unterschiedliche Zugänge zum gleichen Ziel!

• Klassenstufe: 7/8
• Dauer: 6 Stunden
• Inhalt: Flächeninhalt von Trapezen, Textaufgaben, Flächeninhalt von Rechtecken, Dreiecken und Parallelogrammen,
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren
• Ihr Plus: PowerPoint-Präsentation als Begleitmaterial zum Gruppenpuzzle, differenzierte Übungsaufgaben, schülermotivierende Übungen

Mit dieser Übungseinheit festigen die Schüler ihre Fertigkeiten und Fähigkeiten im Umgang mit Gleichungen. Sie wenden wichtige Regeln und Gesetze an, die beim Umformen von Termen gelten. Die Lernenden wenden Kommutativ-, Assoziativ- sowie Distributivgesetz an und führen Äquivalenzumformungen durch, um die Lösungsmenge einer Gleichung zu bestimmen.

Die Lösung mit einer Probe zu überprüfen, ist eine wichtige Fertigkeit, welche die Lernenden in dieser Übungseinheit stabilisieren. So können sie selbstständig feststellen, ob ihre ermittelte Lösungszahl richtig ist oder nicht.

Die Übersetzung zwischen innermathematischer und außermathematischer Welt ist eine wichtige Fähigkeit, die die Schüler in dieser Übungseinheit vertiefen. Das mathematische Modellieren mithilfe von Gleichungen hilft ihnen, ein konkretes Problem besser lösen zu können.

• Klassenstufe/Lernjahr: 7/8 (G8)
• Dauer: 8 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen:
  • 1. Gleichungen umformen und lösen
  • 2. Terme bilden und Sachaufgaben zuordnen; * 3. Klammern auflösen;
  • 4. Binomische Formeln anwenden;
  • 5. Lösungsfälle zuordnen: eine Lösung, unendlich viele Lösungen, keine Lösung und quadratische Gleichung als Lösung
• Thematische Bereiche:* Gleichungslehre
• Medien: Texte, PC
• Zusatzmaterialien: differenzierendes Übungsmaterial mit vielen spielerischen Übungen

Die Unterrichtsreihe beschäftigt sich mathematisch mit dem Klimawandel und seinen Folgen. Sie bietet damit immer wieder Gelegenheit für fachübergreifende Diskussionen. Einzelne Arbeitsblätter lassen sich bereits in der SEK I einsetzen.

• Klassenstufe/Lernjahr: 9 –12 (G8), 9 –13 (G9)
• Dauer: 8–9 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen:
  • 1. Kommunizieren
  • 2. Mathematisch argumentieren und modellieren
  • 3. Nutzung von Werkzeugen
• Thematische Bereiche: Diagramme erstellen und interpretieren, Prognosen mithilfe von Trendfunktionen aufstellen, Situationen mithilfe der Analysis untersuchen und beurteilen
• Medien: Farbfolie / Vorlagen für digitale Präsentationen
• Zusatzmaterialien: Excel-Dateien

Den Materialien sind keine festen Sozialformen zugeordnet. Entscheiden Sie selbst, ob Sie die Schüler in Partner- oder in Dreier-/Vierergruppen arbeiten lassen. Einzel- bzw. Stillarbeit sollte aber die Ausnahme sein, weil zum einen die Kompetenzen Kommunizieren und Kooperieren gefördert werden sollen. Zum anderen ist der Sachzusammenhang so komplex, dass ein Einzelner dabei überfordert sein kann. Zum Einstieg in die 2. Stunde können Sie gut ein Schülerreferat zu Prof. Keeling und der Messstation in Mauna Loa vergeben.

Mathematikdidaktisch geht es u. a. um die Verarbeitung und Beurteilung von Datensätzen mithilfe geeigneter Werkzeuge. Nutzen Sie die, die an Ihrer Schule vorhanden sind und von den Schülern beherrscht werden. Online-Recherchen sind an vielen Stellen notwendig. Wenn Sie keine ausreichenden Möglichkeiten an der Schule haben, verlagern Sie entsprechende Aufgabenteile in die häusliche Vor- oder Nacharbeit. Achten Sie bei den Punktdiagrammen mit Zeitachse darauf, dass Sie für ein Basisjahr t = 0 setzen, also die vergangene Zeit seit diesem Jahr auf der x-Achse auftragen lassen. Damit behalten die Schüler den Ursprung im Blick. Außerdem vermeiden Sie, dass Rundungsfehler große Auswirkungen haben.

I diesen Übungen und Arbeitsblättern beschäftigen sich Ihre Schüler mit der Dichtefunktion. Sie weisen beispielsweise für die gegebene Funktion nach, dass es sich tatsächlich um eine Dichtefunktion handelt und berechnen den Erwartungswert.

• Inhalt:
  • Dreiecksverteilung
  • lineare Funktion
  • Stammfunktion
  • Integral
  • Flächeninhalt von Dreieck und Trapez
  • Erwartungswert
• Medien: evtl. zur Veranschaulichung Euklid DynaGeo oder GeoGebra
• *Kompetenzen: *
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Was soll man sich eigentlich unter Brüchen vorstellen? Und wieso sind die Rechengesetze logisch? Anschauliche Grundvorstellungen statt auswendig gelernter Formeln helfen Ihren Schülern dabei, ein tiefes Verständnis des Themas Bruchrechnung zu erreichen. Abwechslungsreich gestaltet mittels haptischer Aufgaben und Partnerarbeit entdecken Ihre Schüler Zusammenhänge und Verallgemeinerungen – dokumentiert und reflektiert durch ein selbst geführtes Lerntagebuch.

• Klassenstufe/Lernjahr: 5/6 (G8)
• Dauer: 10 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen: Grundvorstellungen zu Brüchen erwerben
• Thematische Bereiche:
  • 1. Größe
  • Vorkommen im Alltag
  • 3. Aufteilen mit Brüchen
  • 4. echte und unechte Brüche
  • 5. Brüche in natürliche Zahlen umwandeln
• Medien: Texte, Bilder

Die Unterrichtseinheit soll den Schülerinnen und Schülern durch vielseitige Beispiele und einen hohen Anwendungsbezug den Zusammenhang zwischen der Mathematik und dem Alltag aufzeigen.

• Klassenstufe: 9/10
• Dauer: 4–6 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Anwendungen des Satzes von Pythagoras an Bauwerken und im Heimwerkerbereich – modelliert durch quadratische, gerade Pyramiden und regelmäßige Tetraeder und Quader
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematisch kommunizieren
• Ihr Plus: Förderung der Allgemeinbildung: Behandlung bekannter Sehenswürdigkeiten, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens, Lernerfolgskontrolle, GeoGebra­Dateien, Tipp­Karten

In der Unterrichtseinheit für die Sekundarstufe II (Abiturvorbereitung) weisen Ihre Schüler die Kongruenz von Dreiecken nach und trainieren in diesem Zusammenhang den Umgang mit Vektoren, wie beispielsweise die Berechnung der Vektorlänge und die Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Vektoren mit Hilfe des Skalarproduktes. Zusätzlich bestimmen die Lernenden Schnittpunkte von Geraden und üben hierbei das Lösen von linearen Gleichungssystemen.

• Inhalt:
  • kongruente und ähnliche Dreiecke
  • Mittelsenkrechte
  • Schnittpunkt von Geraden
  • Abstand von Punkten
  • Schnittwinkel
  • zentrische Streckung
  • Drehung, Drehstreckung
  • Kreisgleichung
• Medien: GTR/CAS; GeoGebra
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen (
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

In der Unterrichtseinheit für die Sekundarstufe II und somit für das Abitur relevant, trainieren Ihre Schüler das Konstruieren von Bildpunkten, Schatten sowie Entfernungen und üben hierbei das mathematische Problemlösen.

• Inhalt:
  • Fluchtpunkt
  • Bildebene
  • Horizont
  • Standpunkt
  • Berechnung und Konstruktion von Bildpunkten
  • Konstruktion von Schatten
  • Entfernungen konstruieren.
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

In dieser Handreichung (Oberstufe Mathematik) üben Ihre Schüler unter anderem das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und das Aufstellen von Geradengleichungen.

• Inhalt:
  • Geradengleichungen aufstellen
  • kongruente Dreiecke
  • Flächeninhalt
  • Extremwertaufgaben
  • Strecken- und Flächenverhältnisse
• Medien: dynamische Geometriesoftware, CAS-Taschenrechner
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

Anhand alltagsnaher Aufgabenstellungen lassen sich die Verknüpfung von Ereignissen mit Ereigniswahrscheinlichkeiten sowie die Berechnung des Erwartungswertes einüben. Außerdem verinnerlichen Ihre Schülerinnen und Schüler den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit. Beweise zur stochastischen Unabhängigkeit runden diese Aufgabensammlung ab.

• Inhalt: Verknüpfung von Ereignissen und Ereigniswahrscheinlichkeiten, Urnenmodelle des Ziehens ohne und Zurücklegen, Be-dingte Wahrscheinlichkeit, Stochastische Unabhängigkeit, Erwartungswert
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Was soll man sich eigentlich unter Brüchen vorstellen? Und wieso sind die Rechengesetze logisch? Anschauliche Grundvorstellungen statt auswendig gelernter Formeln helfen Ihren Schülern dabei, ein tiefes Verständnis des Themas Bruchrechnung zu erreichen. Abwechslungsreich gestaltet mittels haptischer Aufgaben und Partnerarbeit entdecken Ihre Schüler Zusammenhänge und Verallgemeinerungen – dokumentiert und reflektiert durch ein selbst geführtes Lerntagebuch.

• Klassenstufe/Lernjahr: 5/6 (G8)
• Dauer: 10 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen: Grundvorstellungen zu Brüchen erwerben
• Thematische Bereiche:
  • 1. Größe
  • Vorkommen im Alltag
  • 3. Aufteilen mit Brüchen
  • 4. echte und unechte Brüche
  • 5. Brüche in natürliche Zahlen umwandeln
• Medien: Texte, Bilder

Was soll man sich eigentlich unter Brüchen vorstellen? Und wieso sind die Rechengesetze logisch? Anschauliche Grundvorstellungen statt auswendig gelernter Formeln helfen Ihren Schülern dabei, ein tiefes Verständnis des Themas Bruchrechnung zu erreichen. Abwechslungsreich gestaltet mittels haptischer Aufgaben und Partnerarbeit entdecken Ihre Schüler Zusammenhänge und Verallgemeinerungen – dokumentiert und reflektiert durch ein selbst geführtes Lerntagebuch.

• Klassenstufe/Lernjahr: 5/6 (G8)
• Dauer: 10 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen: Grundvorstellungen zu Brüchen erwerben
• Thematische Bereiche:
  • 1. Größe
  • Vorkommen im Alltag
  • 3. Aufteilen mit Brüchen
  • 4. echte und unechte Brüche
  • 5. Brüche in natürliche Zahlen umwandeln
• Medien: Texte, Bilder

Mithilfe der Arbeitsblätter und Kopiervorlagen (SEK II) lernen Ihre Schüler die unterschiedlichen Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei und drei Variablen kennen. Anschließend wenden Sie ihr gewonnenes Wissen in abgestimmten Aufgaben an. Mit der Leistungskontrolle können Sie das Wissen Ihrer Lernenden prüfen.

• Inhalt:
  • lineare Gleichungssysteme mit zwei bzw. drei Unbekannten
  • auch Anwendungsaufgaben dazu
• Medien: Taschenrechner
• Kompetenzen:
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden

In diesem Beitrag prüfen Ihre Schüler ihr mathematisches Wissen. Sie untersuchen eine ganzrationale Funktion hinsichtlich Symmetrie und Extrempunkte. Darüber hinaus führen sie Berechnungen zu Schnittpunkten und Integralen durch.

• Inhalt: Diskussion einer ganzrationalen Funktion
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)

In der Unterrichtseinheit soll der Graph einer Stammfunktion zeichnerisch gewonnen werden. Im ersten Teil des Beitrags werden die Grundlagen wiederholt und das grafische Integrieren erläutert. Im zweiten Teil des Beitrags haben Ihre Schüler die Möglichkeit das gewonnene Wissen durch abgestimmte Aufgaben innerhalb eines Lernzirkels / eines Stationenlernens anzuwenden und zu festigen.

• Inhalt: Differenzieren, Ableitungen, Ableitungsfunktion, Extrempunkte, Wende- und Sattelpunkt, Nullstelle, Monotonie, Vorzeichenwechsel, Steigung, Änderungsrate, Tangente, waagerechte Tangente, Krümmung, Symmetrie, Integrieren („Aufleiten“), Stammfunktion
• Medien: farbige Grafiken
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

In diesem Beitrag lernen die Schüler zunächst verkettete Funktionen und damit auch die Kettenregel der Differenzialrechnung neu kennen. Anschließend wiederholen sie zum Einstieg in die Integralrechnung Integrale von elementaren Funktionen. Danach erarbeiten sich die Lernenden durch zielgerichtete Aufgaben Integrationsformeln für spezielle (zusammengesetzte) Funktionen. Diese Formeln, sowie die partielle Integration wenden sie schließlich an komplexeren Integralen an. Als Hilfestellung dazu enthält der Beitrag eine kleine Formelsammlung spezieller Integrationen sowie Beschreibungen von bewährten Methoden der partiellen Integration.

• Einordnung und Hinweise
• Verkettung von Funktionen
• Ableitung und Stammfunktion elementarer Funktionen
• Integration bei speziellen Verkettungen
• Partielle Integration

• Inhalt: Verkettung von Funktionen, differenzieren, integrieren, Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Potenzregel, Produktregel, Kettenregel, lineare Substitution, logarithmische Integration, partielle Integration
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5),

In einem gleichschenkligen Dreieck werden zunächst die einbeschriebene und die umbeschriebene Parabel betrachtet, genannt Inparabel bzw. Umparabel. Mithilfe von GeoGebra lassen sich durch dynamisches Experimentieren bemerkenswerte Eigenschaften entdecken, mit denen ausgewählte Anwendungsaufgaben praktisch gelöst werden können. In analoger Weise schließen sich Betrachtungen über andere Arten einbeschriebener bzw. umbeschriebener Kurvenbögen an.

• Klassenstufe/Lernjahr: 11/12 (G8)
• Dauer: 10 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen: Anwendungsprobleme mit ein- und umbeschriebenen Kurvenbögen experimentell mit GeoGebra lösen, mit dynamischer GeoGebra-Unterstützung kreative Denkweisen fördern Thematische Bereiche: Parabeln, Halbkreise, Arbelos, Kettenlinien
• Medien: Texte, Farbfolien, Bilder
• Zusatzmaterialien: GeoGebra-Dateien

Trotz der Expertenbeweise ist das eigentliche Ziel der Materialien, anstelle von Beweisen markante Eigenschaften ein- und umbeschriebener Kurvenbögen mittels GeoGebra experimentell zu erschließen und zu verdeutlichen, dass bei dynamischen Veränderungen einer oder mehrerer variabler Größen gewisse andere Größen konstant bleiben. Die Thematik der ein- und umbeschriebenen Kurvenbögen eignet sich in besonderer Weise für den Einsatz dynamischer Geometrie-Software und kann somit einen zwar nur relativ kleinen, aber dennoch typischen Einblick in die immensen Möglichkeiten von GeoGebra gewähren. Ihren Schülern vermitteln Sie Anreize, mathematische Zusammenhänge auch ohne Beweise durch reines Experimentieren zu entdecken. Somit lassen sich etliche Anwendungsaufgaben schneller und unkomplizierter lösen.

In der Unterrichtseinheit werden im Theorieteil einige Beispiele zu Extremwertaufgaben aufgeführt, beispielsweise wie man den zum Ursprung nächsten Kurvenpunkt oder das größtmögliche Quadervolumen in einer Pyramide erhält. Anschließend führen Ihre Schüler abgestimmte Aufgaben zu Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen durch und können mit der Leistungskontrolle ihren Lernfortschritt prüfen.

• Inhalt: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen aus Analysis, Geometrie und Alltagsproblemen
• Medien: Taschenrechner, CAS-Rechner
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

In diesem Beitrag sind Exponentialfunktionen Gegenstand umfangreicher Betrachtungen. Ziel ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln und Berechnungen in der Differential- und der Integralrechnung darzustellen und ihre Nutzung im Unterricht anzuregen.

• Inhalt: Exponentialfunktion, Nullstelle, Ableitungsfunktion, lokale Extrema, Wendepunkt, Stammfunktion, partielle Integration, Flächenberechnung, graphische Darstellung, Wendetangente, Schnittpunkt, Dreieck (Fläche; Innenwinkel), Kegel (Volumen, Oberfläche), Rekonstruktion von Funktionsgleichungen, Gleichungssystem
• Kompetenzen:
• Probleme mathematisch lösen
• mathematische Darstellungen verwenden
• mathematisch kommunizieren

athematik ist ein Schlüssel für das Verständnis der Welt und ihrer Entwicklung. In unserer durch Information gesteuerten Gesellschaft, deren Basis explosionsartig zunehmendes Wissen und dauernde Veränderungen sind, spielt die Mathematik eine entscheidende Rolle. Insbesondere im Bereich Stochastik liegt die Verknüpfung der Inhalte zum praktischen Leben auf der Hand.

• Klassenstufe/Lernjahr: 11/12 (G8), 11–13 (G9)
• Dauer: 2 Unterrichtsstunden, evtl. Hausaufgabe
• Kompetenzen:
  • 1. mathematische Texte erfassen
  • 2. Analyse und Anwendung der zutreffenden Formeln und Lösungsschritte
  • 3. Lösungen berechnen und Ergebnisse reflektieren
  • 4. Beweise führen
• Thematische Bereiche: Ereigniswahrscheinlichkeiten, Binomialverteilung, Vierfeldertafel

Die im Folgenden abgedruckten Tests können jeweils als Kopiervorlagen für Klassensätze verwendet werden. Dabei sollten die Tests zur 11. Klasse gegen Ende des Schuljahres, die in der 12. Klasse etwa in der Mitte des Schuljahres rechtzeitig vor der Abiturprüfung verlangt werden.

Bei den Wiederholungstest findet man zur 11. und zur 12. Klasse Tests nach „Multiple Choice Check“, d. h. eine, zwei, drei oder vier Antworten der vier Vorgegebenen treffen zu. Entsprechend differenziert wird man Bewertung und Bestehen des Tests vornehmen.

Seit geraumer Zeit ist das Testverfahren „MC = Multiple Choice“ für Prüfungen (z. B. beim Führerschein), Tests, Klausuren oder Umfragen als Fragetechnik bekannt, die aber fast ausschließlich Faktenwissen abfragen kann. Obwohl lediglich die angekreuzte Antwort bewertet wird, nicht aber ein möglicher Lösungsweg, bildet das Verfahren dennoch die Möglichkeit, das gelernte Wissen wiederzugeben (Reproduktion) und zu verarbeiten (Reorganisation) sowie dieses auf ähnliche Aufgaben zu übertragen (Transfer) bzw. Aufgaben mit neuen Aspekten zu lösen (problemlösendes Denken). Es handelt sich im Gegensatz zur freien Antwortfindung um eine erzwungene Wahl, da richtige Antworten aus den vorgegebenen auszusuchen sind. Die im Folgenden abgedruckten MC-Tests gehören zu den Themenbereichen.

• Ereignisraum und Wahrscheinlichkeit
• Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
• Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
• Urnenmodelle und Binomialverteilung
• Hypothesentests

Zu den Aufgaben sind jeweils vier Lösungsmöglichkeiten vorgegeben. Die Schwierigkeit liegt darin, dass 0 bis 4 Antworten richtig sein können.

In diesem Beitrag führen Ihre Schüler Multiple Choice-Tests zu den verschiedensten Themen aus der Stochastik durch, wie beispielsweise zum Ereignisraum oder zum Hypothesentest.

• Inhalt:
  • Ereignisraum und Wahrscheinlichkeit
  • Kombinatorik
  • Laplace
  • bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Urnenmodelle
  • Binomialverteilung
  • Hypothesentests
• Kompetenzen:
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

In diesem Beitrag entdecken Ihre Schüler den Unterschied zwischen der absoluten und der relativen Häufigkeit. Sie führen Zufallsexperimente mit Würfeln durch um diese zu bestimmen. Außerdem lernen Sie den Begriff der Wahrscheinlichkeit mit den entsprechenden Eigenschaften kennen und wenden das gelernte Wissen in abgestimmten Aufgaben an.

• Inhalt: heuristische Zugangsweise zu den Begriffen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
• Medien: Würfel, Münzen, Tetraeder, Oktaeder, Urne mit Kugeln, Taschenrechner
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

In diesem Beitrag entdecken Ihre Schüler den Unterschied zwischen der absoluten und der relativen Häufigkeit. Sie führen Zufallsexperimente mit Würfeln durch um diese zu bestimmen. Außerdem lernen Sie den Begriff der Wahrscheinlichkeit mit den entsprechenden Eigenschaften kennen und wenden das gelernte Wissen in abgestimmten Aufgaben an.

• Inhalt: heuristische Zugangsweise zu den Begriffen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
• Medien: Würfel, Münzen, Tetraeder, Oktaeder, Urne mit Kugeln, Taschenrechner
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

In diesem Beitrag stellen Ihre Schülerinnen und Schüler Berechnungen zu Schlägerhaltungen, Ballpositionen und Flugbahnen des Balls an. Dabei trainieren sie das Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen sowie das Lösen von Gleichungssystemen.

Diese Aufgabe ist fern jeder Realität, aber vielleicht eine Aufgabe, die zu interessanten mathematischen Überlegungen motiviert.

Es geht um Tischtennis, also um eine Sportart mit ausgesprochen schnellen Bewegungen, Reaktionen und Bewegungsabläufen von Spielern und Ball. Dabei wird niemand auch nur ansatzweise auf die Idee kommen, während eines solchen Spiels Berechnungen zu Schlägerhaltung, Ballposition oder gar der Flugbahn des Balls anzustellen.

Und dennoch soll diese Aufgabe Anregung für Unterrichts-, Zirkel- und/oder Projektarbeit mathematikinteressierter Schülerinnen und Schüler sein, die analytische Geometrie auch einmal unter dem Blickwinkel einer Ballsportart zu betrachten.

• einfallende Bewegungsrichtung, Einfallslot und reflektierte Bewegungsrichtung liegen in einer Ebene
• einfallende Bewegungsrichtung und reflektierte Bewegungsrichtung bilden mit dem Einfallslot gleiche Winkel = Reflektionswinkel Da es sich bei dem Tischtennisball, der Tischtennisplatte und dem Tischtennisschläger (abgesehen von dem dünnen elastischen Belag des Holzschlägers-Kork oder Gummi) um annähernd starre Gebilde handelt, können diese Voraussetzungen vereinfachend als gegeben angesehen werden.

Mutterländer dieses Spiels sind Japan und China, 1880 wurde Tischtennis in England bekannt und verbreitete sich von dort über Europa.

Der Ball ist aus Zelluloid; die Platte aus Sperrholz (274,3 cm x 152,5 cm); die Netzhöhe 15,25 cm.

• Inhalt: Geradengleichung, Ebenengleichung, Gleichungssystem, Normalenvektor, Spiegelung, Betrag eines Vektors, Skalarprodukt, Durchstoßpunkt, Punktkontrolle, räumliches Koordinatensystem
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5)

Die Schüler werden mit einer sauberen Beweisführung (Skizze, Voraussetzungen, Behauptung und Beweisschritten) vertraut gemacht. Sie beweisen dadurch elementargeometrische Eigenschaften von verschiedenen Vierecken mithilfe von einfacher Vektorrechnung. Der Beitrag beinhaltet zudem eine kleine, auf den Beitrag abgestimmte Formelsammlung.

• Inhalt: Elementargeometrie, orthogonal, Fußpunkt, Skalarprodukt, Viereck, Trapez, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Diagonalen, Mittelpunkt, Innenwinkel, Parameterform (Gerade), Mittellinie, Mittenviereck, Voraussetzung, Behauptung, Beweis
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematisch modellieren (K 3), mathematische Darstellungen verwenden (K  4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)

In diesem Beitrag trainieren Ihre Schüler unter anderem das Aufstellen von Geradengleichungen, das Anwenden der

Hesse-Form zur Abstandsbestimmung eines Punktes zu einer Ebene und das Berechnen des Pyramidenvolumens.

• Inhalt:* Ebenen und ihre gegenseitige Lage; Kugeln, Tangenten und Tangentialebenen; Pyramidenvolumen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)