Analytische Geometrie/ lineare Algebra
Schnittwinkel zweier Ebenen

12. Klasse Gymnasium

Frage: Wie berechne ich den Schnittwinkel zweier Ebenen ?

Aufgabe :
  
Gegeben sind die Ebenen E mit A(3/2-1), B (6/0/5), C (-2/7/2)
sowie die Ebene F mit K ( 4/1/9), L (-6/2/-9) und M ( 5/-1/-1).

Berechne den Schnittwinkel beider Ebenen !!

Lösung:

1. Schritt:
Aufstellen der Parametergleichungen beider Ebenen


EBENE E
mit A(3/2/-1), B (6/0/5), C (-2/7/2) :

Beim Ermitteln der Parametergleichung einer Ebene bleibt der Ortsvektor unverändert.
Analytische Geometrie und lineare Algebra- Ebenen (Parameterform)


EBENE F
mit K ( 4/1/9), L (-6/2/-9) und M ( 5/-1/-1).

Analytische Geometrie und lineare Algebra- Ebene aus 3 Punkten

Es handelt sich also um eine zwei durch die Richtungsvektoren Analytische Geometrie und lineare Algebra- Ebenengleichung und Analytische Geometrie und lineare Algebra- Vektor vbzw.
Analytische Geometrie und lineare Algebra- Ebenengleichung und Analytische Geometrie und lineare Algebra- Ebenengleichungaufgespannte Ebenen im dreidimensionalen Raum
(ausgehend vom angegebenen Ortsvektor) .




2. Schritt: Berechnung des Normalenvektors:

Im 2. Schritt muss der Normalenvektor beider Ebenen berechnet werden.

a) - > Ebene E
 

Analytische Geometrie und lineare Algebra - Ebene

Um den Normalenvektor zu berechnen, müssen wir jeweils das Vektorprodukt
der beiden Richtungsvektoren ermitteln:
Analytische Geometrie und lineare Algebra- Normalenvektor


Analytische Geometrie und lineare Algebra- Normalenvektor


Nun sollte man noch auf Orthogonalität prüfen:

Analytische Geometrie und lineare Algebra- Ebenengleichung



b) - > Ebene F
 

Analytische Geometrie und lineare Algebra - Ebene


- > Ebene F, Normalenvektor berechnen ...
Analytische Geometrie und lineare Algebra- Ebenengleichung

Auch hier, bei Ebene F, sollte man noch auf Orthogonalität prüfen:

Analytische Geometrie und lineare Algebra- Normalenvektor





3. Schritt: Berechnung des Schnittwinkels beider Ebenen:

Schneiden sich zwei Ebenen E und F, so gilt für ihren Schnittwinkel :

Formel. Schnittwinkel           Analytische Geometrie und lineare Algebra- Schnittwinkel

Wie berechnen wir den Schnittwinkel aber?

Analytische Geometrie und lineare Algebra- Schnittwinkel
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